真实感海洋的绘制（一）：基于统计学模型的水面模拟方法
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学习了基本的OpenGL和图形学知识后，第一个想做的事情就是画水（笑），因为对我而言各种游戏里面往往最令人印象深刻的就是那波光粼粼、使人心旷神怡的海面了~当然，海面的模拟并不是一件简单的事情TAT…因此决定对于其中较为一些复杂的内容整理出来发在博客上，供以后参考。
##一、问题描述 首先出于OpenGL编程习惯，约定$y$轴正方向表示垂直向上，$xz$平面表示水平面。那么符合直觉的水面描述方式是建立一个连续的高度场，使得这个高度场的图形尽可能接近于水面：
\[y=H(x,z,t)\]其中，$t$是时间变量，因为我们希望水面随着时间而自然地改变。
当然，对于计算机而言必须用离散的方式来近似地存储这一高度场。计算机图形最常见的内部存储方式是，通过由三维顶点坐标集合$V={v_1,v_2,…,v_n},v=(x,y,z)$及一些顶点间连接关系集合$E$描述的一个三角形集合$T=<V,E>$。对于海面这个特定问题而言，根据顶点间的坐标可以自动生成顶点和相邻顶点的连接关系，例如如果我们设置顶点为
\[V=\{(0.1k,0,0.1k)|k\in Z \ \mbox{and}\ k\in [-255,255]\}\]一个顶点和相邻8个顶点之间构成4个正方形，每个正方形用两个三角形就可以描述顶点的连接关系，因此我们只用考虑顶点集合$V$。不妨设一开始对$\forall v\in V$，$ v_y=0$，那么我们的任务就是对任意给定的顶点$v$，根据这个顶点的水平坐标$(x,y)$求出$v_y$即可。
这样，这个问题形式化描述和计算机的实现方案就形成了。
##二、一些简单方法
只要你学过高中数学和物理，很容易就能想到使用三角函数来模拟一条水面波，多个随机的三角函数叠加就能产生一个“水面”，然而基于三角函数的水面往往显得很不真实，因为这个猜想基于水面波是简谐运动的模型，这个模型似乎简化过头了。在流体力学中，有一种波是某个理想模型下的流体微分方程的近似解，被称作Gestner波，感兴趣的读者可以查阅相关资料。Gestner波最大的优势是实现简单、容易计算，并且看上去足够逼真，是性价比很高的解决方案，在很多游戏中得到了广泛应用。缺点是让效果好看需要大量的调参工作，并且依然是高度简化的理想模型，与真实情况还有不小的差距。
三、统计学模型
那么如果我们不计性能要绘制出最为逼真的海面呢？我们需要更为复杂的简化程度更低的模型。这里就要不得不提著名的论文“Simulating Ocean Water”[1]中提出的统计学模型（据说是海洋科学用于描述海洋的模型）。由于这个模型相当复杂，因此本文的核心目的就是讲清楚这个模型是什么，并提供一种最简单的计算方法。
为了便于后续描述，我们把上面的高度场的形式变化一下
\[y=H(x,z,t)=H(\vec{x}, t)\mbox{, where }\vec{x}=(x,z)\]那么这个模型的形式化描述是
\[H(\vec{x},t)=\sum_{\vec{k} } h(\vec{k},t)e^{ i \vec{k} \cdot \vec{x}} \\ \mbox{where } \vec{k}=(k_x,k_z)=(\frac{2\pi n}{L_x},\frac{2\pi m}{L_z}),\ \vec{x}=(\frac{nL_x}{N},\frac{mL_z}{M} )\]其中，$e$是自然对数，$i$是虚数单位，并且
\[-\frac{N}{2}\le n<\frac{N}{2},-\frac{M}{2}\le m < \frac{M}{2}\\ e^{i\vec{k} \cdot \vec{x}} = \cos(\vec{k} \cdot \vec{x}) +i\sin(\vec{k} \cdot \vec{x})\\ h(\vec{k},t)=h_0(\vec{k})e^{i\omega (\vec{k})t}+ h_0^*(-\vec{k})e^{-i\omega(\vec{k})t} \mbox{, where }\omega(\vec{k})=\sqrt{g|\vec{k}|}\mbox{, * 表示共轭}\\ h_0(\vec{k})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\xi_r+i\xi_i)\sqrt{P_h({\vec{k}})} \\ P_h(\vec{k})=A\frac{e^{-1/(|\vec k|L)^2}}{|\vec k|^4}|\hat{k}\cdot\hat{D_{w}}|^2\\ L=\frac{V_w^2}{g}\]在这“坨”公式中，我们需要控制的变量有：
- 水面的大小$L_x,L_z$.
- 顶点网格的密度$N,M$（也是采样的精度）.
- 风的方向$\vec{D_{w}}$和风的速度$V_w$.
- 波涛汹涌的幅度$A$.
- 符合正态分布的两个独立随机变量$\xi_r$和$\xi_i$，实验感觉0-1的正态分布效果较好.
此外，还需要一个偏置向量$\vec{D}(\vec{x},t)$来模拟海水的浪尖，可以如下设置
\[\vec{D}(\vec{x},t)=\sum_{\vec{k}}-i\frac{\vec{k}}{|\vec{k}|} h(\vec{k},t)e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}\]当然，为了便于后续光照计算，我们还需要法向量$\vec{N}(\vec{x},t)$
\[\epsilon(\vec{x},t)=\nabla H(\vec{x},t)=\sum_{\vec{k}}i\vec{k}h(\vec{k},t)e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}\\ \begin{align} \vec{N}(\vec{x},t)&=(0,1,0)-(\epsilon_x(\vec{x},t),0,\epsilon_z(\vec{x},t))\\ &=(-\epsilon_x(\vec{x},t),1,-\epsilon_z(\vec{x},t)) \end{align}\]暴力实现对于$N\times N$水面上对每一个顶点做高度计算的复杂度为$O(n^4)$，这个效率是非常低的，因此我们需要对其效率做出改进才能成为真正实用的算法。下一篇我们会讨论如何使用快速傅里叶变换对其进行加速。
四、实现结果
不出所料，$16\times16$的水面已经卡的不行了，显然是无法实用的。
具体源代码请参考 https://github.com/hehao98/WaterRendering
参考文献
- Tessendorf, Jerry. Simulating Ocean Water. In SIGGRAPH 2002 Course Notes #9 (Simulating Nature: Realistic and Interactive Techniques), ACM Press.
- Keith Lantz. Ocean Simulating Part One: Using the Discrete Fourier Transform. https://www.keithlantz.net/2011/10/ocean-simulation-part-one-using-the-discrete-fourier-transform/
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